Movimiento circular

En cinemática, el movimiento circular (también llamado movimiento circunferencial) es el que se basa en un eje de giro y radio constante, por lo cual latrayectoria es una circunferencia. Si además, la velocidad de giro es constante (giro ondulatorio), se produce el movimiento circular uniforme, que es un caso particular de movimiento circular, con radio y centro fijos y velocidad angular constante.

Arco descrito o desplazamiento angular

Arco angular o desplazamiento angular es el arco de la circunferencia recorrido por la masa puntual en su trayectoria circular, medido en radianes y representado con la letras griegas

\varphi\,

(phi)o

\theta\,

(theta). Este arco es el desplazamiento efectuado en el movimiento circular y se obtiene mediante la posición angular (

\varphi_p

\theta_p

) en la que se encuentra en un momento determinado el móvil y al que se le asocia un ángulo determinado en radianes. Así el arco angular odesplazamiento angular se determinará por la variación de la posición angular entre dos momentos final e inicial concretos (dos posiciones distintas):

$\Delta\varphi = \varphi_f - \varphi_o \qquad \mbox{ó} \qquad \Delta\theta = \theta_f - \theta_o$

Siendo

\Delta\varphi

\Delta\theta

el arco angular o desplazamiento angular dado en radianes.

Si se le llama

e,

al espacio recorrido a lo largo de la trayectoria curvilínea de la circunferencia de radio

R,

se tiene que es el producto del radio de la trayectoria circular por la variación de la posición angular (desplazamiento angular):

$e = R\Delta\varphi = R(\varphi_f - \varphi_o) \qquad \mbox{ó} \qquad s = R\Delta\theta = R(\theta_f - \theta_o)$

En ocasiones se denomina

s,

al espacio recorrido (del inglés "space"). Nótese que al multiplicar el radio por el ángulo en radianes, al ser estos últimos adimensionales (arco entre radio), el resultado es el espacio recorrido en unidades de longitud elegidas para expresar el radio.

Velocidad angular y velocidad tangencial

Velocidad angular es la variación del arco angular o posición angular respecto al tiempo. Es representada con la letra $\omega\,$ (omega minúscula) y viene definida como:

$\omega = \lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta \varphi}{\Delta t} = \lim_{\Delta t\to 0}\frac{\varphi_f - \varphi_o}{t_f - t_o} \qquad \mbox{ ó } \qquad \omega = \frac{d \varphi}{d t}$

Siendo la segunda ecuación la de la velocidad angular instantánea (derivada de la posición angular con respecto del tiempo).

Velocidad tangencial de la partícula es la velocidad del objeto en un instante de tiempo (magnitud vectorial con módulo, dirección y sentido determinados en ese instante estudiado). Puede calcularse a partir de la velocidad angular. Si $v_t$ es el módulo la velocidad tangencial a lo largo de la trayectoria circular de radio R, se tiene que:

$v_t = \omega\,R$

Aceleración angular y tangencial

La aceleración angular es la variación de la velocidad angular por unidad de tiempo y se representa con la letra:

\alpha\,

y se la calcula:

$\alpha = \frac{d \omega }{d t}$

Si a_t es la aceleración tangencial, a lo largo de la circunferencia de radio R, se tiene que:

a_t = R \, \alpha \;

Período y frecuencia

El período indica el tiempo que tarda un móvil en dar una vuelta a la circunferencia que recorre. Se define como:

$T=\frac{2\pi}{\omega}$

La frecuencia es la inversa del periodo, es decir, las vueltas que da un móvil por unidad de tiempo. Se mide en hercios o s^-1

$f=\frac{1}{T}=\frac{\omega}{2\pi}$

Aceleración y fuerza centrípeta

Mecánica clásica

La aceleración centrípeta, también llamada normal o radial, afecta a un móvil siempre que éste realiza un movimiento circular, ya sea uniforme o acelerado. Se define como:

$a_c = a_n = \frac{v^2_t}{R}=\omega^2R$

La fuerza centrípeta es la fuerza que produce en la partícula la aceleración centrípeta. Dada la masa del móvil, y basándose en lasegunda ley de Newton (

\vec {F} = m \vec {a}

) se puede calcular la fuerza centrípeta a la que está sometido el móvil mediante la siguiente relación:

$F_c=ma_c=\frac{mv^2}{R}=m\omega^2R$

Mecánica relativista

En mecánica clásica la aceleración y la fuerza en un movimiento circular siempre son vectores paralelos, debido a la forma concreta que toma la segunda ley de Newton. Sin embargo, en relatividad especial la aceleración y la fuerza en un movimiento circular no son vectores paralelos a menos que se trate de un movimiento circular uniforme. Si el ángulo formado por la velocidad en un momento dado es

\scriptstyle \alpha

entonces el ángulo

\scriptstyle \beta

formado por la fuerza y la aceleración es:

$\cos \beta = \frac{1+\cfrac{v^2}{c^2}(1-\cos^2\alpha)}{\sqrt{\left(1+\cfrac{v^2}{c^2}(1-\cos^2\alpha)\right)^2+\cfrac{v^4}{c^4}\cos^2\alpha\sin^2\alpha}}$