Ley de gravitación universal

Fuerzas mutuas de atracción entre dos esferas de diferente tamaño. De acuerdo con la mecánica newtoniana las dos fuerzas son iguales en módulo, pero de sentido contrario; al estar aplicadas en diferentes cuerpos no se anulan y su efecto combinado no altera la posición del centro de gravedad conjunto de ambas esferas.

La ley de gravitación universal es una ley física clásica que describe la interacción gravitatoria entre distintos cuerpos con masa. Ésta fue presentada por Isaac Newton en su libro Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, publicado en 1687, donde establece por primera vez una relación cuantitativa (deducida empíricamente de la observación) de la fuerza con que se atraen dos objetos con masa. Así, Newton dedujo que la fuerza con que se atraen dos cuerpos de diferente masa únicamente depende del valor de sus masas y del cuadrado de la distancia que los separa. Para grandes distancias de separación entre cuerpos se observa que dicha fuerza actúa de manera muy aproximada como si toda la masa de cada uno de los cuerpos estuviese concentrada únicamente en su centro de gravedad, es decir, es como si dichos objetos fuesen únicamente un punto, lo cual permite reducir enormemente la complejidad de las interacciones entre cuerpos complejos.
Así, con todo esto resulta que la ley de la gravitación universal predice que la fuerza ejercida entre dos cuerpos de masas $m_{1}$ y $m_{2}$ separados una distancia $r$ es proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia, es decir:

(1) $F = G \frac {m_{1}m_{2}} {r^2}$

donde

F\,

es el módulo de la fuerza ejercida entre ambos cuerpos, y su dirección se encuentra en el eje que une ambos cuerpos.

G\,

es la constante de gravitación universal.

Es decir, cuanto más masivos sean los cuerpos y más cercanos se encuentren, con mayor fuerza se atraerán.
El valor de esta constante de Gravitación Universal no pudo ser establecido por Newton, que únicamente dedujo la forma de la interacción gravitatoria, pero no tenía suficientes datos como para establecer cuantitativamente su valor. Únicamente dedujo que su valor debería ser muy pequeño. Sólo mucho tiempo después se desarrollaron las técnicas necesarias para calcular su valor, y aún hoy es una de las constantes universales conocidas con menor precisión. En 1798 se hizo el primer intento de medición(véase el experimento de Cavendish) y en la actualidad, con técnicas mucho más precisas se ha llegado a estos resultados:¹

(2) $G = 6.67384(80) \times 10^{-11} \ \mbox{N} \ \mbox{m}^2 \ \mbox{kg}^{-2}$

en unidades del Sistema Internacional.
Esta ley recuerda mucho a la forma de la ley de Coulomb para las fuerzas electrostáticas, ya que ambas leyes siguen una ley de la inversa del cuadrado (es decir, la fuerza decae con el cuadrado de la distancia) y ambas son proporcionales al producto de magnitudes propias de los cuerpos (en el caso gravitatorio de sus masas y en el caso electrostático de su carga eléctrica).
Aunque actualmente se conocen los límites en los que dicha ley deja de tener validez (lo cual ocurre básicamente cuando nos encontramos cerca de cuerpos extremadamente masivos), en cuyo caso es necesario realizar una descripción a través de la Relatividad General enunciada por Albert Einstein en 1915, dicha ley sigue siendo ampliamente utilizada y permite describir con una extraordinaria precisión los movimientos de los cuerpos (planetas, lunas, asteroides, etc.) del Sistema Solar, por lo que a grandes rasgos, para la mayor parte de las aplicaciones cotidianas sigue siendo la utilizada, debido a su mayor simplicidad frente a la Relatividad General, y a que ésta en estas situaciones no predice variaciones detectables respecto a la Gravitación Universal.

Historia

Trabajos de Hooke y disputa

Cuando el primer libro de los Principios de Newton fue expuesto a la Royal Society (la Real Academia de las Ciencias, de Inglaterra), el coetáneo Robert Hooke acusó a Newton de plagio por copiarle la idea de que la gravedad decaía como la inversa cuadrado de la distancia entre los centros de ambos cuerpos. Aunque esta controversia ha durado incluso hasta nuestros días, no hay datos claros sobre si realmente Newton conocía los trabajos de Hooke o no, ya que aunque ambos se carteaban regularmente, en ninguna de esas cartas Hooke menciona la ley de la inversa cuadrado, algo que Newton sí hizo con otros autores a los que sí agradeció² los trabajos anteriores en los que basó sus ideas. Frente a esta proclama de Hooke de su idea de la inversa cuadrado, Newton reiteró que dicha idea en ningún caso era exclusivamente de él, sino que fueron varios autores en aquella época que ya se dieron cuenta de una dependencia de ese tipo, como reflejó en los agradecimientos de su publicación.

Relación con las Leyes de Kepler

Las Leyes de Kepler eran una serie de tres leyes empíricas que describían el movimiento de los planetas a través de las observaciones existentes.
Aunque éstas describían dichos movimientos, los motivos de por qué éstos eran así o qué los causaban permanecían desconocidas tanto para Kepler como para sus coetáneos. Sin embargo, éstas supusieron un punto de partida para Newton, quien pudo dar una formulación matemática a dichas leyes, lo cual junto con sus propios logros condujeron a la formulación de la ley de la Gravitación Universal. En especial, a través de dicha ley Newton pudo dar la forma completa a la Tercera ley de Kepler, que describe que los cuadrados de los periodos de las órbitas de los planetas son proporcionales a los cubos de sus distancias al Sol. Es decir, que los planetas más alejados del Sol tardan más tiempo en dar una vuelta alrededor de éste (su año es más largo).

Formulación general de la ley de la Gravitación Universal

Forma vectorial

Aunque en la ecuación (1) se ha detallado la dependencia del valor de la fuerza gravitatoria para dos cuerpos cualesquiera, existe una forma más general con la que poder describir completamente dicha fuerza, ya que en lugar de darnos únicamente su valor, también podemos encontrar directamente su dirección. Para ello, se convierte dicha ecuación en forma vectorial, para lo cual únicamente hay que tener en cuenta las posiciones donde se localizan ambos cuerpos, referenciados a un sistema de referencia cualquiera. De esta forma, suponiendo que ambos cuerpos se encuentran en las posiciones

\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2

, la fuerza (que será un vector ahora) vendrá dada por

(2) $\mathbf{F}_{12} = -G \frac{m_{1}m_{2}}{\|\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1\|^2} \hat{\mathbf{u}}_{12} = -G \frac{m_{1}m_{2}}{\|\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1\|^3} (\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1)$

donde

\hat{\mathbf{u}}_{12}

es el vector unitario que va del centro de gravedad del objeto 1 al del objeto 2.

EJERCICIOS:

1.- Una masa de 800 kg y otra de 500 kg se encuentran separadas por 3m, ¿Cuál es la fuerza de atracción que experimenta la masa?

Solución: La situación del problema es muy sencilla de resolver, ya que basta en tomar los datos y reemplazar en la fórmula, como podemos ver las masas se encuentran en kilogramos, y la distancia en metros, por lo que no habría necesidad de convertir a otras unidades, ahora veamos el uso de la fórmula.
$\displaystyle F=G\frac{{{m}_{1}}\cdot {{m}_{2}}}{{{d}^{2}}}$
Reemplazando datos
$\displaystyle F=[6.67x{{10}^{-11}}\frac{N{{m}^{2}}}{k{{g}^{2}}}]\frac{(800kg)(500kg)}{{{(3m)}^{2}}}$
$\displaystyle F=[6.67x{{10}^{-11}}\frac{N{{m}^{2}}}{k{{g}^{2}}}]\frac{400,000k{{g}^{2}}}{9{{m}^{2}}}$
$\displaystyle F=[6.67x{{10}^{-11}}\frac{N{{m}^{2}}}{k{{g}^{2}}}]\cdot 444,44.4\frac{k{{g}^{2}}}{{{m}^{2}}}$
Por lo que:
$\displaystyle F=2.964x{{10}^{-6}}N$
Qué sería la fuerza de atracción entre las masas,
Ahora veamos un ejemplo, tipo algebraico para ver como se relacionan los problemas de la ley de la gravitación universal.

2.- La fuerza de atracción entre dos cuerpos de masas m1, y m2, que se encuentran separados una distancia d es F. Si la distancia se incrementa al doble, ¿qué sucede con la magnitud de la nueva fuerza de atracción?

Solución: En este problema no hay un valor numérico, pero se puede expresar de manera algebraica hasta entender a grandes conceptos que nos quiere dar a entender, colocamos nuestra fórmula.
$\displaystyle F=G\frac{{{m}_{1}}\cdot {{m}_{2}}}{{{d}^{2}}}$
Ahora coloquemos los datos, aunque si observamos nos daremos cuenta que lo único que cambiará será la distancia, puesto que el problema dice que se incrementa al doble, es decir “2d”.
Por lo que, quedaría en nuestra fórmula.
$\displaystyle F=G\frac{{{m}_{1}}\cdot {{m}_{2}}}{{{(2d)}^{2}}}$
Resolviendo
$\displaystyle F=G\frac{{{m}_{1}}\cdot {{m}_{2}}}{4{{d}^{2}}}=\frac{1}{4}G\frac{{{m}_{1}}\cdot {{m}_{2}}}{{{d}^{2}}}$
Si te das cuenta he apartado 1/4 detrás de la constante de gravitación universal, esto es para que nos quede nuevamente la fórmula inicial, y así reemplacemos por la Fuerza “F”.
quedando así.
$\displaystyle F=\frac{1}{4}F'$
Le que colocado así para evitar confusiones, y como te podrás dar cuenta.
Cuando la distancia aumenta al doble, la fuerza de atracción disminuye en 1/4 de fuerza

3.-Encontrar la distancia a la que hay que colocar dos masas de un kilogramo cada una, para que se atraigan con una fuerza de un 1 N.
F =1N
G = 6.67 x10^-11 Nm²/kg²
m₁=1kg
m₂=1kg
r =?

Impulso:Es la fuerza ejercida por el tiempo de duración en que actúa dicha fuerza.
l=N/s
t=s
F=N

Fisica